Определение орбиты по двум векторам положения методом продолжения по параметру с наилучшей параметризацией
Известия ГАО в Пулкове, № 223: Труды Всероссийской астрометрической конференции «Пулково-2015», Санкт-Петербург, 207–212 (2016)
Abstract
Рассмотрена старая классическая задача определения орбиты небесного тела по двум его положениям в два момента времени. Исследование основывается на методе Шефера, который свободен от неопределённостей и может быть применим для всех типов кеплеровских движений. Этот метод использует одно трансцендентное уравнение с одним неизвестным, однако для некоторых гиперболических орбит требуется альтернативная формула. В настоящей работе получено универсальное трансцендентное уравнение содержащее Φ функцию Лерха и применимое для любых начальных данных. Для решения уравнения предлагается использовать метод продолжения решения по параметру с наилучшей параметризацией. Данный метод сводится к решению задачи Коши системы двух дифференциальных уравнений с начальными условиями, независящими от начальных данных исходного трансцендентного уравнения. При этом находятся все возможные решения. К недостаткам метода следует отнести потерю эффективности и точности для орбитальных дуг близких к 2π. The old classical problem of finding the orbit of a celestial body from its two position vectors in two instants of time is considered. The history of the problem is more than two centuries old and there are many approaches to it solution. Current investigation is based on the Shefer’s method, whose solution is free from uncertainties and may be applied to all kinds of keplerian motions. This method uses one transcendental equation with one unknown, but for some hyperbolic orbit an alternative equation is needed. In this work the universal transcendental equation is produced. It’s contains Φ Lerch’s function. For solving of this equation the continuation method with best parametrization is proposed. For this, on the base of global homotopy we will make analog of our equation. It depends on parameter of homotopy and initial values of the problem. The solution of such extended equation is produced through generation of a system of ordinary differential equations with initial conditions. This method was suggested by Davidenko and it is named as continuous continuation. The optimal parameter of continuation is the length of arc along the current solution curve. The problem is reduced to solving the Cauchy problem of two differential equations with initial conditions what doesn’t depends on from transcendental equation data. The disadvantage of method is loss of efficiency and reliability when orbital arc is tending to 2π.