Аналитическое представление решения задачи N тел в некоторых областях фазового пространства

Л. Л. Соколов, К. В. Холшевников

Transactions of IAA RAS, issue 11, 151–192 (2004)

Keywords: эфемеридная астрономия, фазовое пространство, классическая небесномеханическая задача, интегрируемость в области простых движений, неограниченные траектории, подсистемы из одиночных и тесных двойных, невозмущенное движение, центры масс двойных, орбиты двойных, эксцентриситеты, вещественно-аналитическая функция времени и начальных данных, предел последовательных приближений

Abstract

Построение решений классической небесномеханической задачи N тел (N >3) и исследование свойств этих решений является важнейшей проблемой математики и механики со времен Ньютона. На рубеже XIX и XX столетий было установлено отсутствие глобальных (определенных во всем фазовом пространстве) интегралов в задаче N тел даже при N = 3. Причина - наличие сложных, запутанных траекторий, не укладывающихся на гладкие многообразия. В то же время в задаче N тел существуют и движения простые, когда тела неограниченно удаляются друг от друга и их взаимодействие быстро убывает. Еще Ж. Шази, а позднее В. М. Алексеев приводили аргументы в пользу интегрируемости в области таких простых движений. На важность исследований неограниченных траекторий указывал и А. Н. Колмогоров. В настоящей работе мы рассматриваем область фазового пространства следующего вида. Система N тел разбивается на подсистемы из одиночных и тесных двойных. В невозмущенном движении одиночные и центры масс двойных разлетаются, не испытывая тесных сближений. Орбиты двойных - эллипсы малых размеров с умеренными эксцентриситетами. Основной результат: при явно сформированных условиях на массы, а также начальные взаимные расстояния и скорости истинное движение слабо отличается от невозмущенного. Точное решение существует на всей оси времени, является однозначной вещественно-аналитической функцией времени и начальных данных и может быть получено как предел последовательных приближений. В указанной области существует полный набор независимых однозначных вещественно-аналитических автономных интегралов движения. Эти результаты были получены нами ранее, но только здесь мы даем полное доказательство.

Citation